Complexe nummers. De betekenis en evolutie van "imaginaire grootheden"

Nummers zijn de basis wiskundige objecten,noodzakelijk voor verschillende berekeningen en berekeningen. De totaliteit van natuurlijke, integere, rationele en irrationele numerieke waarden vormt een reeks van zogenaamde reële getallen. Maar er is ook een nogal ongebruikelijke categorie - complexe getallen, gedefinieerd door René Descartes als 'imaginaire waarden'. En een van de leidende wiskundigen van de achttiende eeuw, stelde Leonard Euler voor om ze aan te duiden met de letter i van het Franse woord imaginare (imaginair). Wat zijn complexe getallen?

De zogenaamde uitdrukkingen van de vorm a + bi, waarin aen b zijn reële getallen, en i is een digitale indicator van een speciale waarde, waarvan het kwadraat -1 is. Bewerkingen op complexe getallen worden uitgevoerd volgens dezelfde regels als verschillende wiskundige bewerkingen op polynomen. Deze wiskundige categorie drukt niet de resultaten uit van metingen of berekeningen. Om dit te doen, is het genoeg om echte cijfers te hebben. Want wat hebben ze dan echt nodig?

Complexe getallen, als een wiskundig concept,nodig omdat bepaalde vergelijkingen met reële coëfficiënten geen oplossing bieden in de regio van "gewone" getallen. Om de omvang van het oplossen van ongelijkheden uit te breiden, werd het daarom noodzakelijk om een ​​nieuwe wiskundige categorie in te voeren. Complexe getallen, die voornamelijk een abstracte theoretische waarde hebben, maken het mogelijk om zulke vergelijkingen als x op te lossen² +1 = 0. Opgemerkt moet worden dat, ondanks de schijnbare formaliteit, deze categorie van de nummers behoorlijk actief en wordt veel gebruikt, bijvoorbeeld om een ​​groot aantal praktische problemen van elasticiteitstheorie, elektrotechniek, aerodynamica en hydromechanica, atoomfysica en andere wetenschappelijke disciplines op te lossen.

De module en het complex getalargument worden gebruiktbij het construeren van grafieken. Deze vorm van schrijven wordt trigonometrisch genoemd. Bovendien verbreedde de geometrische interpretatie van deze nummers de reikwijdte van hun toepassing. Het werd mogelijk om ze te gebruiken voor verschillende cartografische berekeningen.

Wiskunde heeft een lange weg afgelegd van de eenvoudigstenatuurlijke getallen om complexe systemen en hun functies te complexeren. Over dit onderwerp kun je een apart tekstboek schrijven. Hier beschouwen we slechts enkele evolutionaire momenten van de getaltheorie, zodat alle historische en wetenschappelijke voorwaarden voor het ontstaan ​​van een bepaalde wiskundige categorie duidelijk worden.

Oude Griekse wiskundigen werden overwogen"Echte" uitsluitend natuurlijke getallen, die kunnen worden gebruikt om alles te tellen. Al in het tweede millennium voor Christus. e. oude Egyptenaren en Babyloniërs in verschillende praktische berekeningen actief gebruikte fracties. De volgende belangrijke mijlpaal in de ontwikkeling van de wiskunde was het verschijnen van negatieve getallen in het oude China, tweehonderd jaar voor onze jaartelling. Ze werden ook gebruikt door de oude Griekse wiskundige Diophantus, die de regels kende van de eenvoudigste bewerkingen op hen. Met behulp van negatieve getallen werd het mogelijk om verschillende veranderingen in de hoeveelheden niet alleen op het positieve vlak te beschrijven.

In de zevende eeuw van onze jaartelling was het precies vastgesteld,dat de vierkantswortels van positieve getallen altijd twee waarden hebben - behalve positief, ook negatief. Van de laatstgenoemden, werd het onmogelijk geacht om de vierkantswortel uit de gebruikelijke algebraïsche methodes van die tijd te halen: er bestaat geen waarde van x zodanig dat x² = ─ 9. Lange tijd deed het er niet echt toe. Het was pas in de zestiende eeuw, toen er waren en zijn actief bestudeerd kubieke vergelijkingen, de noodzaak om de vierkantswortel van negatieve getallen te halen, zoals in de formule voor de oplossing van deze uitingen bevat niet alleen de kubus, maar ook de wortels.

Zo'n formule is foutloos als de vergelijking dat niet ismeer dan één echte root. In het geval van de aanwezigheid van drie echte wortels in de vergelijking, toen ze werden uitgehard, werd een getal met een negatieve waarde verkregen. Dus het bleek dat de manier om de drie wortels te extraheren ligt door een operatie die onmogelijk is vanuit het standpunt van de wiskunde van die tijd.

De resulterende paradox verklarenDe Italiaanse algebraist J. Cardano werd gevraagd om een ​​nieuwe categorie van ongebruikelijke natuur te introduceren, die complex genoemd werd. Het is interessant dat Cardano zelf ze nutteloos achtte en op alle mogelijke manieren probeerde te voorkomen dat hij dezelfde wiskundige categorie gebruikte die hij had voorgesteld. Maar al in 1572 verscheen het boek van een andere Italiaanse algebraist Bombelli, waar de regels voor operaties op complexe getallen in detail werden uiteengezet.

Gedurende de hele zeventiende eeuw,bespreking van de wiskundige aard van deze getallen en de mogelijkheden van hun geometrische interpretatie. Ook werd de techniek om met hen samen te werken geleidelijk ontwikkeld en verbeterd. En rond de eeuwwisseling van de 17e en 18e eeuw ontstond een algemene theorie van complexe getallen. Een enorme bijdrage aan de ontwikkeling en verbetering van de theorie van functies van complexe variabelen werd geïntroduceerd door Russische en Sovjetwetenschappers. Muskhelishvili die zich bezighouden met de toepassing ervan op de problemen van de theorie van de elasticiteit, hebben Keldysh en Lavrentiev complexe getallen gebruikt op het gebied van hydro- en aerodynamica, en Vladimir Bogolyubov - in kwantumveldentheorie.